Lunes
01
de Marzo
1º de Secundaria
Matemáticas
Situaciones de variación lineal
Aprendizaje
esperado: Analiza y compara situaciones de variación lineal a
partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y
resuelve problemas que se modelan con este tipo de variación.
Énfasis: Relacionar las representaciones tabular, gráfica
y algebraica de situaciones de variación lineal: y = ax + b.
¿Qué vamos a aprender?
En esta sesión
ampliarás tus conocimientos sobre el aprendizaje esperado: “Analiza y compara
situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con este
tipo de variación”.
¿Qué hacemos?
Comenzarás con un
juego lógico-matemático llamado el “Salto de la rana”, basado en el intercambio
de posición de tres fichas azules y tres fichas rojas colocadas como se muestra
a continuación.
Como puedes
observar, se encuentra un espacio vacío para colocar una ficha más; este espacio
servirá para ir moviendo las fichas considerando las siguientes reglas:
1. Se puede mover
sólo una ficha a la vez.
2. Únicamente puedes
saltar como máximo una ficha, no más.
3. Las fichas azules
deberán quedar en el lugar en que se encuentran las fichas rojas y las rojas en
el lugar que se encuentran las azules.
4. Las fichas se
deben mover únicamente en dirección adonde quedarán al final del juego y no
pueden retroceder una vez movidas.
5. Si lo intentas y
ya no pueden mover más fichas, siguiendo las reglas establecidas, deberás
colocar nuevamente las fichas como en un inicio y volver a comenzar.
Considera que las
fichas las puedes elaborar con material reciclado, usar los colores que te
gusten u otros. Al final de esta sesión, verás alguna pista que seguramente ya
habrás deducido al jugar el “Salto de la rana”.
Al estudiar
algunas situaciones cotidianas, se pueden usar literales para representar
cantidades denominadas constantes, es decir, que su valor permanece fijo y son
representadas convencionalmente por las letras ("a", "b",
"c"). y otras conocidas como variables, aquellas que pueden adquirir
o tomar distintos valores, representadas regularmente con las letras
("x", "y", "z"), aunque es posible utilizar
cualquier literal.
Las variables pueden
ser dependientes o independientes. Las variables independientes son aquellas
que pueden adquirir o se les puede asignar cualquier valor. Las variables
dependientes son aquellas cuyos valores dependen de los valores que adquieran o
que se les asignen a las variables independientes.
Considera
expresiones algebraicas que están formadas por los dos tipos de variables y por
valores constantes. Comienza identificando en un problema cotidiano los valores
constantes y variables inmersos en él.
En cierta localidad,
el kilogramo de tortilla cuesta 15.00 pesos y llevan una servilleta o manta de
tela para no pagar un costo extra por el papel en el momento que les entregan
las tortillas.
Inicia por
identificar el valor constante. ¿Lo tienes?
En este caso la constante
son quince pesos por kilogramo.
Ahora, ¿cuáles son
las variables en caso de comprar más o menos en cantidad de tortillas de la
unidad establecida, es decir, de un kilogramo?
La cantidad de
kilogramos que vayas a comprar puede ser menor, igual o mayor a un kilogramo.
El costo a pagar depende de la cantidad de tortillas que se compren. Con base
en la identificación realizada, se puede establecer que se tiene una expresión
algebraica del tipo.
y = ax, en donde:
"a"
representa el costo por kilogramos de tortilla;
"x", la
cantidad de kilogramos de tortillas a comprar; y
"y", el
costo total a pagar.
Si cambias la
constante “a” por el valor establecido del kilogramo de tortilla, tienes la
expresión algebraica y = 15x.
Elabora una tabla
a partir de medio kilogramo de tortillas hasta 5 kg.
Para ello, al
multiplicar los valores de equis por 15 se obtiene el correspondiente valor de
"y". Así se tiene que por medio kilogramo se pagan 7.50 pesos; por un
kilogramo, 15 pesos; por 2, 30 pesos; por 3, 45 pesos; por 4, 60 pesos y por 5,
75 pesos.
Al graficar estos
valores considera en el eje de las "x" los kilogramos de tortillas, y
en el eje de las "y", el costo a pagar. Se ubican los puntos
coordenados (x, y) y se traza la recta que se genera con todos los puntos que
forman parte de la expresión algebraica.
Observa con
atención cómo a cada valor en la coordenada “x” corresponde otro en “y”; es
diferente para cada valor. Al unir los puntos se forma una línea recta, misma
que indica un crecimiento. Es decir, conforme aumenta el peso, aumenta el costo
a pagar. Así identificas que el peso es la variable independiente, mientras que
el costo a pagar es la variable dependiente.
Ahora supón que el
dueño de la tortillería quiere innovar, por lo que decide elaborar tortillas de
menor tamaño para las taquerías cercanas a su negocio. Pero al ser de un tamaño
especial, el costo varía, en este caso es de 18.50 pesos por kilogramo y
únicamente venderá kilogramos completos. Será necesario elaborar una nueva
tabla para registrar la información. En este caso, ¿qué expresión algebraica
corresponde a esta nueva situación?
Identifica el
valor constante. Para este caso será el costo por kilogramos de la tortilla
para tacos, es decir, 18.50 pesos, mientras la variable independiente “x” será
la cantidad de tortillas por comprar y la variable dependiente “y”, el costo
total de la compra.
La expresión
algebraica quedaría establecida de la siguiente manera.
y = 18.5x.
Completa la tabla
correspondiente.
Al graficar la
expresión algebraica, considera que en el eje de las "x" los
kilogramos de tortillas y en el eje de las "y" el costo a pagar.
Ubicamos los puntos coordenados (x, y) y se traza la recta que se genera con
todos los puntos que forman parte de la expresión algebraica.
Para completar la
tabla de datos correspondiente, sustituye a "x" por valores del 1 al
5 y los multiplicas por la constante 18.5 para obtener los valores
correspondientes de "y". Así, se tiene que por un kilogramo se pagan
18.5 por uno, igual a 18.5; por 2 kilogramos, 18.5 por 2, igual a 37 pesos; por
3 kg, 55.50 pesos; por 4 kg, 74 pesos, y por 5 kg, 92.50 pesos.
Al graficar los
datos considera en el eje de las "x" los kilogramos de tortillas y en
el eje de las "y", el costo a pagar; ubica los puntos coordenados (x,
y) y traza la recta que se genera con los puntos. Se te invita a revisar lo
anterior en el siguiente audiovisual.
1.
Variación
proporcional directa.
Ahora compara las
rectas generadas por las dos situaciones consideradas.
Observa cómo el
crecimiento de la expresión algebraica y = 18.5x es mayor que la expresión
algebraica y = 15x. La diferencia está en la razón de cambio, en la segunda
situación es mayor que la primera.
Ya observaste que
la expresión algebraica y la recta graficada son dos herramientas matemáticas
equivalentes, es decir, de una puedes obtener la otra y viceversa.
¿Será cierto? Lo descubrirás
más adelante.
Para obtener la
razón de cambio en una expresión algebraica lineal, es necesario observar la
variación de cambio de “x” y “y” en intervalos iguales; es decir, de uno en
uno, de dos en dos, etc.
A continuación, analiza
y completa 3 tablas, las cuales muestran los tres distintos salarios diarios de
una compañía en la que se manejan tres variantes, de acuerdo con las comisiones
por ventas realizadas.
·
Esquema
"A": No hay sueldo base, pero sí una comisión que corresponde a la
mitad de las ventas diarias.
·
Esquema
"B": Hay un sueldo base de 50 pesos diarios más una comisión de la
quinta parte de sus ventas; es decir, 20 por ciento de sus ventas.
·
Esquema
"C": El sueldo base es de 150 pesos diarios; no hay comisión por
ventas.
Analiza cada
esquema y encuentra la expresión algebraica que establece la relación de cada
tabla mostrada.
Estas expresiones
algebraicas son de la forma y es igual a “ax + b”.
Comienza con el
esquema “A”; ¿cuál es la constante “a”? La comisión que equivale a la mitad de
las ventas diarias. El monto de la venta diaria es la variable independiente
“x”, y “b” es igual a cero. Entonces “y” es igual a “ax”, es decir:
y = 1/2x, y = x/2
o bien y = 0.5x; estas tres son expresiones algebraicas equivalentes.
En la tabla del
esquema A se establecen las ventas en pesos para 100, 200, 300, 500, y
duplicando la última venta, hasta 1 000 pesos. Se completa la tabla
multiplicando (1/2) por cada valor de “x”. Por ejemplo, (1/2) (100),
multiplicando 100 por uno y dividiendo el producto entre 2; da como resultado
50.
Otra forma es
convertir la fracción 1/2 a número decimal, que es (0.5) y multiplicarlo por
100; queda (100) (0.5) = 50; o bien para la expresión y = x/2, únicamente se
divide el valor de las ventas entre 2. Les invito a completar la tabla del
esquema "A", el cual debería quedar como se muestra.
Continuando con el
esquema "B", se tiene sueldo base fijo de 50 pesos que es una
constante, la constante “b”. La variable independiente nuevamente son las
ventas realizadas durante el día, multiplicada por 1/5 de ellas, que será la
comisión. Este dato, 1/5, también aparece como constante, la constante “a”.
Entonces “y” = “ax
+ b”, donde 1/5 sería la constante “a” y el sueldo base de 50 pesos sería la
constante “b”. Así, la expresión algebraica queda como:
y = 1/5x + 50, y =
x/5 + 50 o bien y = 0.2x + 50
Para completar la
tabla, se multiplica (1/5) por cada valor establecido de “x”, por ejemplo (1/5)
por (100), y al sumar el sueldo base de 50 pesos se obtiene como resultado 70
pesos.
Utilizando las
otras expresiones equivalentes puedes dividir las ventas entre 5 y sumar 50 al
resultado, o multiplicar las ventas por 0.2 y sumar 50 al resultado.
Con el
procedimiento que hayas elegido, te invito a completar la tabla del esquema
"B", la cual queda como se muestra.
Sigue con el
esquema "C". Se tiene sueldo base fijo de 150 pesos, al no variar es
una constante “b”, pues no tiene relación con la variable “x”. A diferencia de
los esquemas "A" y "B", “y” no está expresada usando una
variable independiente como “x” al no haber comisión relacionada con las ventas
diarias. Únicamente se tiene el sueldo base de 150 pesos. Entonces, para el
esquema "C", “y = 150”.
Para resolver no
hace falta hacer ninguna operación porque, sin importar las ventas realizadas
en el día, el sueldo fijo será siempre de 150 pesos.
Ahora grafica las
tres rectas en un mismo plano cartesiano. De esta forma puedes comparar los
comportamientos de los diferentes esquemas.
Si analizas
gráficamente un sólo valor de la variable “x”, es decir, ventas diarias, y observas
el valor correspondiente de “y”, podrías determinar para ese valor qué esquema
de pago le convendría elegir. Por ejemplo: para una venta de 300 pesos en cada
esquema, ¿cuál le convendría elegir a un empleado? Y si se analiza la venta
máxima considerada en las tablas, es decir, 1 000 pesos, ¿debería el empleado
cambiar de elección o quedarse con el mismo esquema?
Ahora se partirá
de tres rectas en el plano cartesiano. Cada una representa el costo por
servicio de taxis en distintas ciudades.
Se te invita a
analizar por unos segundos las rectas que representan el comportamiento de cada
expresión algebraica en relación con sus valores constantes y sus variables.
Revisa los valores de “y” con respecto de “x” en el plano cartesiano
considerando intervalos iguales para lograr una comparación equitativa.
Para continuar extrae
los datos de cada una de ellas, elaborando una tabla por compañía.
Si observas con
detenimiento, para cada recta en el plano cartesiano el costo en el primer
kilómetro recorrido te servirá como dato inicial para cada una de las tablas,
las cuales comenzarás a completar en el siguiente formato sugerido para cada
una de ellas.
Observa primero la
variación entre intervalos iguales en la tabla correspondiente a la gráfica de
la compañía “A”. Por ejemplo, cuánto varía “y” cuando “x” incrementa de 1 en 1.
Para la primera
comparación, “y” pasa de un valor de 11.50 a 15 pesos. Observa, la variación
fue de 3.50 pesos.
Ahora observa la
segunda variación, cuando a “x” se le asignan los valores de 2 y 3, “y” obtiene
los valores de 15.00 a 18.50 pesos respectivamente, la variación de nuevo es de
3.50 pesos, lo que significa que permanece constante. Por lo tanto, podrías
asegurar que cada valor que toma la variable “x” es multiplicado por 3.5 que es
constante “a”.
Pero al
multiplicar uno por 3.5, en donde 1 es el primer valor establecido de “x”, no te
da el valor esperado, es decir, 11.50 pesos. Entonces, debes considerar cuánto
le falta a 3.5 para llegar a 11.50. Se realiza una resta y se obtiene 8. Este
número encontrado es la constante “b”.
Siguiendo la forma
de la expresión algebraica y = ax + b, la expresión algebraica para calcular el
costo a cobrar por la compañía de taxis “A”, sería y = 3.5x + 8y con ello, ya puedes
elaborar la tabla de datos.
Se te invita a
corroborar que dicha expresión algebraica sirve para encontrar cada valor de
“y”, condicionado por los valores establecidos en “x”.
Ahora observa la
variación entre intervalos iguales en la tabla correspondiente a la gráfica de
la compañía “B”. Por ejemplo, ¿cuánto varia “y” cuando “x” incrementa de 1 en
1? Compara la variación cuando “x” vale 2, ¿qué valor le corresponde a “y”?
Después observa
cuánto varía el valor de “y”, si “x” toma el valor de 3. Cuanto se incrementa dicha
variación, ¿será la razón de cambio?
Para la primera
comparación “y” pasa de 25.00 a 27.50 pesos; si observas la variación es de
2.50 pesos. Ahora observa la segunda variación, cuando “x” pasa de 3 a 4, es
decir, “y” vale de 27.50 a 30 pesos, respectivamente. Nuevamente la variación
es de 2.50 pesos. Como puedes ver, la variación permanece constante, por lo que
puedes asegurar que cada valor que toma la variable “x” es multiplicado por
2.5, que será la constante “a”. Pero si haces la multiplicación 2 por 2.5, en
donde 2 es el segundo valor establecido para “x”, no nos da el número esperado,
25 pesos. Entonces debes considerar cuánto le falta a 2.5 por 2, que son 5,
para llegar a 25. Se realiza una resta y se obtiene 20. Este número corresponde
a la constante “b”.
Siguiendo la forma
de la expresión algebraica y = ax + b para la compañía de taxis “B” es y = 2.5x
+ 20
Corrobora que
dicha expresión algebraica sirve para encontrar cada valor de “y”, condicionado
por los valores establecidos en “x”.
Por último, puedes
observar la variación entre intervalos iguales en la tabla, correspondiente a
la gráfica de la compañía “C”, para establecer la razón de cambio y la
expresión algebraica de la misma.
Para la primera
comparación, “y” pasa de 10.50 a 14.50 pesos, si observas, la variación es de 4
pesos. Ahora observa la segunda variación; es decir, cuando a “x” se le asignan
los valores de 4 y 5, “y” obtiene los valores 14.50 a 18.50 pesos,
respectivamente, de nuevo la variación es de 4 pesos; es decir, la variación
permanece constante. Por lo tanto, podrías asegurar que cada valor que toma la
variable “x” es multiplicado por 4, que es la constante “a”. Pero si haces la
multiplicación de 3 por 4, en donde 3 es el tercer valor establecido para “x”,
no da el número esperado 10.50 pesos; entonces debes restarle a 10.5, 12, lo
que da como resultado 1.5 negativo. Este número es la constante “b” que cumple
la condición de la gráfica.
Siguiendo la forma
de la expresión algebraica y = ax + b, la expresión algebraica para calcular el
costo por cobrar por la compañía de taxis “C” es y = 4x – 1.5.
Se te invita a
corroborar que dicha expresión algebraica sirve para encontrar cada valor de
“y”, condicionado por los valores establecidos en “x”, para validar que los
datos de la tabla son correctos.
Una vez terminado
el análisis y desarrollo de las tres situaciones problemáticas presentadas, se
puede concluir que muchas de las actividades cotidianas tienen implícitas
relaciones que se pueden representar por una expresión algebraica, la cual
puede ser determinada al reconocer los valores constantes y las variables involucradas
en dicha expresión algebraica.
Después se puede
elaborar una tabla para observar su comportamiento e incluso usar la
representación gráfica que permita en un solo vistazo entender dicha situación.
Asimismo, a partir de tablas de datos se puede encontrar la expresión
algebraica que la representa y obtener su gráfica; o como en la última
actividad, a partir de gráficas en un mismo plano, poder rescatar los datos
para obtener la tabla y, a su vez, a partir de ésta encontrar la expresión
algebraica que incluya los valores representados.
De esta forma se
puede concluir que la expresión algebraica lineal, la tabla elaborada a partir
de la relación entre las variables involucradas y la gráfica de estos datos en
el plano cartesiano son equivalentes una con otra.
Has
concluido la sesión del día de hoy.
El Reto de Hoy:
¿Olvidaste dar con
la pista para solucionar el juego el “Salto de la rana”?
Reflexiona: las
fichas rojas deben ocupar los lugares de las azules y viceversa.
La pista es que
por ningún motivo deberás tener dos fichas del mismo color juntas; de lo
contrario, habrás perdido la oportunidad de hacerlo a la primera y deberás
colocar nuevamente las fichas como en un principio. Éxito.
Explora tu libro
de texto y también consulta otras fuentes para aclarar las dudas que pudieran
surgir. En tu libro de texto de Matemáticas puedes encontrar más actividades
relacionadas con relaciones de variación lineal para practicar el trabajo
realizado en esta sesión.
¡Buen trabajo!
Gracias por tu esfuerzo.
Para saber más:
Lecturas
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